Exposant 1/n

Théorème et définition
Soit $a$ un nombre réel positif et $n$ un entier naturel non nul.

L'équation $x^n=a$ possède une unique solution positive notée  $a^{\frac{1}{n}}$ et appelée racine $n$ -ième de $a$ .

                                                                   $(a^{\frac{1}{n}}{)}^n=a$
Remarques

La racine $n$ -ième de $a$ est aussi notée $\sqrt[n]{a}$ . Nous avons donc :  $(\sqrt[n]{a}{)}^n=a.$

Dans la plupart des cas, l'utilisation de la calculatrice est nécessaire pour calculer une valeur approchée d'une racine $n$ -ième.

Cas  particuliers                                                                          

• Si  $n=1$ , $a^{\frac{1}{1}}=a$ .
  
• Si  $n=2$ , $a^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{a}=\sqrt{a}$  (racine carrée de $a$ ).
  
• Si  $n=3$ , $a^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{a}$  (racine cubique de $a$ ).
  

Exemples

$4^{\frac{1}{2}}=\sqrt{4}=2$  ;         $8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2$     car $2^3=8$  ;

$$ $12,3^{\frac{1}{6}}\simeq \mathrm{1,519}$  ;       ${144}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{144}=12$ .

Pour tout $n>0$ , $1^{\frac{1}{n}}=1$ .

Pour tout $n>0$ , $\sqrt[n]{0}=0$ .

Définition   Puissances rationnelles

Soit $a$ un nombre réel positif. Si $p$ et $n$ sont deux entiers naturels non nuls, alors par définition :

                                                              $a^{\frac{p}{n}}=(a^{\frac{1}{n}}{)}^p$ .

Exemples

${10}^{\frac{4}{5}}=({10}^{\frac{1}{5}}{)}^4={10}^{\frac{1}{5}}\times {10}^{\frac{1}{5}}\times {10}^{\frac{1}{5}}\times {10}^{\frac{1}{5}}$

$8^{\frac{4}{3}}=(8^{\frac{1}{3}}{)}^4=2^4=16$

Propriétés algébriques

Pour tout réel $a>0$ et pour tout entier relatif $n$ et  $m$   :

$a^n\times a^m=a^{n+m}$  ;          $(a^n{)}^m=(a^m{)}^n=a^{nm}$

$$ $a^n\times b^n=(ab{)}^n$  ;           ${\displaystyle \frac{a^n}{b^n}}={\left({\displaystyle \frac{a}{b}}\right)}^n$  ;           ${\displaystyle \frac{a^n}{a^m}}=a^{n-m}$ .

Exemples

$a^{\frac{1}{5}}{b}^{\frac{1}{5}}=(ab{)}^{\frac{1}{5}}$ ce qui peut aussi s'écrire : $\sqrt[5]{a}\sqrt[5]{b}=\sqrt[5]{ab}$ .

$(\sqrt[3]{5}{)}^6=(5^{\frac{1}{3}}{)}^6=5^{\frac{6}{3}}=5^2=25$

${243}^{-\frac{4}{5}}={\displaystyle \frac{1}{{243}^{\frac{4}{5}}}}={\displaystyle \frac{1}{(\sqrt[5]{243}{)}^4}}={\displaystyle \frac{1}{3^4}}={\displaystyle \frac{1}{81}}$

Pour tout $a\ge 0$  et  $b>0$ :  ${\displaystyle \frac{a^{\frac{1}{9}}}{b^{\frac{1}{9}}}}={\left({\displaystyle \frac{a}{b}}\right)}^{\frac{1}{9}}$ ce qui s' écrit aussi $\sqrt[9]{{\displaystyle \frac{a}{b}}}={\displaystyle \frac{\sqrt[9]{a}}{\sqrt[9]{b}}}$ .

Pour tout  $a>0$  : ${\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a}}}=\sqrt{a}$ .

En effet :  ${\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a}}}={\displaystyle \frac{a^1}{a^{\frac{1}{2}}}}=a^{1-\frac{1}{2}}=a^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt[3]{\sqrt[7]{15}}=\sqrt[21]{15}$  

Pour tout réel $a$ positif : $\sqrt{\sqrt{a}}=\sqrt[4]{a}.$